zurück

Eindimensionale Wellen

Bild 1: Animation zum Bild im Vorwort: Vier bewegte Ortswellen f(x,vt) einer Raumdimension. Ordinate: x, Abszisse: f(x).

Diskussion: Mit den Vorzeichen von zwei freien Parametern x und vt lassen sich 2² = 4 Funktionen variieren. (a) und (b) zeigen Wellen, die nach unserem Empfinden vorwärts laufen. Dazu erhielten die Wellen einen kleinen Schweif. Im Gegensatz dazu laufen die Wellen (c) und (d) rückwärts, d.h. der Schweif läuft voran. Ist vt positiv, vgl. Nr. a) und b), läuft der Wellenberg voran. Ist vt negativ, vgl. Nr. c) und d), läuft das Wellental voran und der Berg hinterher.

Die mit dem Schwanz voranlaufenden Wellen begegneten uns 1993/94 bei der Entwicklung von PSI-Tools zum ersten mal. Es fehlte die Phantasie, uns das Wellenfeld vorzustellen, welches zu der rückwärtslaufenden Zeit in der Interferenz-Rekonstruktion gehört. Ich bat deshalb unsere damalige Softwareentwicklerin Sabine Höfs, das Interferenzintergral der Rekonstruktion eines (gesamten) Bildes in zeitliche Teilintegrale zu zerlegen. Vollkommen überraschend erhielten wir Wellenfelder mit rückwärts-/einwärtslaufenden Wellen, siehe unten.

Man vergleiche übrigens (a) bis (d) mit der eindimensionalen d'Alembertschen Wellengleichung: Wir erkennen Fall (b) und (c), statt (a) und (b). Wie lange mag dieser Fehler schon existieren? Die richtige Lösung der d'Alembertschen Wellengleichung sollte folglich im Kern besser so aussehen: u(t, x) = f(ct + x) + g(ct - x). Man vergleiche dazu eine Herleitung. Der Term x² = c²t² ließe sich nach c²t² -x² = 0 statt nach x² - c²t² = 0 umstellen: Schon entspräche alles unserer Anschauung, und die Wellen würden richtig herum laufen.

Bild 2: Die vier eindimensionalen Ortsfunktionen. Pro Kurve ist ein Zeitpunkt eingefroren. Denken wir an Meereswellen, kommen uns die grünen Wellen plausibel vor. Fälle (C) und (D) zeigen rückwärts laufende Wellen.

Bild 3: Die vier eindimensionalen Zeitfunktionen. Jede Kurve gilt nur für einen Ortspunkt. Denken wir an ein Oszilloskop, kommt uns diese Darstellung bekannt vor. Fall (A) zeigt wachsende Verzögerung, Fall (B) zeigt wachsende, negative Verzögerung, Fälle (C) und (D) sind eher unplausibel.

Vielleicht noch ein Wort zum Motiv dieser Wellensimulation. Bei der Untersuchung von Zeitfunktionen aus dem Nervensystem stößt man auf zwei Aufgaben: die Rekonstruktion der Quellgebiete (des Generatorraumes) und der Projektion in die Zielgebiete (I.-Projektion). Beide Aufgaben unterscheiden sich oft nur durch ein kleines Vorzeichen (a) <-> (b). Mir fiel auf, daß Vorzeichen von Wellen in Lehrbüchern oft nicht beachtet werden, zum Beispiel finden wir rückwärtslaufende Wellen bei Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Wave oder http://de.wikipedia.org/wiki/Welle.
Man vergleiche die formale Identität der Scilab-Quellen und präge sich die richtigen und die falschen Formen ein.

Interferenzintegrale

Multiplikative Interferenz zweier Gauss-Zeitfunktionen

Bild 4: Interferenzintegral als mathematische Verbindung zwischen Welle (a,b) und Bild (d), zwischen Hören und Sehen. Dort, wo sich viele Wellen begegnen, entsteht eine hohe Wirkung (ein hoher Interferenzwert). Im Bild begegnen sich zwei Wellen. Den Ort der Begegnung zeigt bereits eine Multiplikation der Ortsfunktionen in (c) an. Um ein dauerhaft bleibendes Bild zu erhalten, integrieren wir den Wert für jedes Sample separat auf - ein Interferenzintegral (d) entsteht. Während (a) bis (c) Zeitfunktionen darstellen, zeigt das Interferenzintegral (d) die Entwicklung eines bestimmten Bildpunktes.

Ein Interferenzintegral stellt die elementarste Abstraktion der Bildentstehung auf dem Niveau von Zeitfunktionen dar. Wir erkennen, daß sinoidale Zeitfunktionen hier keine Rolle spielen müssen. Bestehen Zeitfunktionen aus Lichtquanten, spricht man von Photographie, sind sie mikrophonierter Schall, erhalten wir akustischen Bilder z.B. mit einem Ultraschallgerät oder mit einer akustischen Kamera aus vielen, parallel aufgezeichneten Tonspuren. Sind Zeitfunktionen neuronaler Natur, sprechen wir von Sehen, Hören, Fühlen oder Denken. Allerdings kann wohl nur des Nervensystem die multiplikative Form nutzen, da nur hier einpolare Signale anzutreffen sind. Optik und Akustik nutzen additive Formen, siehe folgende Beispiele. Man beachte die vielfältigen Wechselwirkungen zwischen Zeitfunktionstyp, Parametern, Verknüpfung und Integral.

Zu Bild 4: Es zeigen (a) und (b) interferierende Zeitfunktionen f1 und f2; (c) eine skalare Multiplikation beider Zeitfunktionen f3 = f1 * f2 und (d) ein zeitliches Integral über f3 in der Form f4 = f4 + f3; f4 ist initial Null. Die Variablen f1...f4 sind in der numerischen Durchführung Vektoren (eindimensionale Matrizen). Für jedes vt entstehen die Vektoren f1...f4 neu.

Der hier vorgestellte Ansatz ist nur für den eindimensionalen Raum und zwei Zeitfunktionen geeignet. Denkt man an mehrere Zeitfunktionen, die im Winkel aufeinander treffen, so wird deutlich, daß hier nur ein Spezialfall behandelt wird. Für mehr als zwei Kanäle in räumlichen Geometrien war ein anderer Denkansatz zu finden. Die Erfindung akustischer Bilder und Filme mit der später so bezeichneten akustischen Kamera basierte auf der heute so bezeichneten Interferenz-Rekonstruktion, die 1993 als Maskenalgorithmus eingeführt wurde.

Multiplikative Interferenz mit Verzögerung (Movement)

Bild 6: Was passiert nun aber, wenn eine der Wellen zeitlich verzögert ins Feld kommt? Im Bild wurde die zweite Welle (b) f2 = welle(vt + x + vT) verzögert um T = -4/v. Im Interferenzintegral (d) erkennen wir, daß sich der Treffort beider Wellen auf x = 2 verschiebt. Wir erkennen, daß zeitliche Verzögerungen in Kanaldaten stets zu einer Veränderung der Interferenzorte führen.

Das Interferenzintegral verschiebt sich immer zur verzögerten Welle hin. Verzögern wir einen Kanal, so bewegt sich ein gesamtes Bild (vielleicht eine neuronale Karte) zur verzögerten Seite hin (siehe Movement): Interferenznetze zeigen damit eine Projektionseigenschaft, die wir aus der Optik kennen. Im Nervensystem bekommen wir eine Idee von der Aufgabe von Glia-Zellen, in die Nervenfasern eingebettet sind: Sie können die Leitgeschwindigkeit eines Nervs verändern, folglich dessen Signalverzögerung, folglich verschieben sie Interferenzorte, folglich Interferenzintegrale und -karten.

Multiplikative Interferenz zweier rechteckförmiger Zeitfunktionen

Bild 7: (a) und (b) Zeitfunktionen; (c) Momentanwert der Multiplikation; (d) Interferenzintegral. Man beachte, daß das Interferenzintegral (Wavelet-Analogie: Mallat) nadelscharf auf der x-Achse abbilden kann, obwohl die Zeitfunktionen (Wavelet-Analogie: Haar) erheblich klobig erscheinen.

In das Nervensystem übersetzt bedeutet diese Simulation, daß jegliche Schwellwertbildung (man vergleiche Neuronenmodelle zeitlich nach Hodgkins/Huxley) zu nadelscharfer Lokalität der neuronalen Adresse führt, auch bei vergleichsweise großer geometrischer Länge der Wellenplateaus.

In die Sprache bildgebender Systeme übersetzt, bedeutet es: Mit Interferenzintegralen ist es prinzipiell möglich, Auflösungen in Bruchteilen einer Wellenlänge zu erreichen. Da mediale Eindringtiefen i.a. in Vielfachen einer Wellenlänge gemessen werden, bedeutet der interferenzielle Zugang damit eine Erhöhung von Eindringtiefe oder Auflösung.

Diese grundlegende Entdeckung veranlasste mich 1993 u.a., mit dem Manuskript Neuronale Interferenzen zu beginnen. Als Beispielapplikation entstanden bis 1997 erste, akustische Bilder und Filme. Die Geburtsstunde der akustischen Photo- und Kinematographie war gekommen.

Multiplikative Interferenz einer laufenden mit einer stehenden Zeitfunktion (Interferenzfaltung)

Bild 8: Wir halten Welle (b) an, indem der Parameter vt entfernt wird. Das Interferenzintegral zeigt dann ein skaliertes Abbild der stehenden Welle. Die Form der laufenden Welle ist nahezu bedeutungslos (Scilab-Code unter den Bildern).

Unterschied zum Faltungsintegral: Der Kern von Welleninterferenz erinnert an einen Faltungskern. Allerdings fehlt die verzögerte Mittelwertbildung über mehrere Orte. Im Gegensatz zum Faltungsintegral besitzt das Interferenzintegral nur je einen Ortsbezug pro Schritt. Ausschließlich Amplituden an jeweils einem einzigen Knoten (Sample, Pixel, Voxel, Netzknoten) werden summiert. Daher auch der neue Name. Eine Faltung kann als Interferenznetz dargestellt werden z.B. in Form einer FIR-Schaltung (FIR: Finite Impulse Response). Das Faltungsintegral läßt sich folglich auf Interferenzintegrale reduzieren.

Multiplikative Interferenz verschieden schnell laufender Zeitfunktionen

Bild 9: Wir beschleunigen Welle (b), indem der vt-Parameter mit einem Faktor 5 gewichtet wird. Das Interferenzintegral zeigt dann ein gemischtes Abbild beider Wellen, allerdings mit Tendenz zur Darstellung der langsameren Welle. Das resultierende Integral ist schmaler als die langsame Welle (a). Man vergleiche auch die Ausrichtung des Schwanzes beider Wellen.

Summative Interferenz mit Quadratur

Bild 10: Betrachten wir die Lösung der Wellengleichung nach d'Alembert, so taucht eine Addition zweier Zeitfunktionen (Ortsfunktionen) auf. Die Frage erhebt sich, ob diese Lösung ein von Null verschiedenes Interferenzintegral besitzt. Das Bild zeigt das Ergebnis des Tests für Gauß'sche Wellenformen. Zwar liefern beide Wellenberge bereits einen Gleichanteil im Integral, dennoch hebt sich der Ort der Interferenz ab.

Summative Interferenz mit Effektivwertbildung

Bild 11: Obwohl im Interferenzintegral (d) weniger Kontrast zu erzielen ist als durch Multiplikation der Zeitfunktionen, ist die Methode aus dem Bereich der akustischen Bildgebung nicht mehr wegzudenken. Verglichen mit der Multiplikation ist sie nicht anfällig gegen mehrkanalige Vorzeichenwechsel.

Lineare Superposition zweier Zeitfunktionen

Bild 12: Bei linearer Superposition verschwindet das Interferenzintegral ("Bild") hier vollständig! Man erkennt, daß der positive Wellenabschnitt von (a) oder (b) ein Integral in (d) erzeugt, während der gleichgroße negative Abschnitt das Integral wieder löscht. Im Ergebnis entsteht im Integral eine Welle, aber kein Bild. Diese Simulation zeigt, daß Nichtlinearitäten oder Unsymmetrien (Multiplikation, Quadrat, Effektivwert etc.) nötig sind, um Interferenzintegrale bilden zu können.

Allerdings gibt es Ausnahmefälle: