Mathematics is an experimental science,
definitions do not come first, but later on.
Oliver Heaviside


Animationen zu Wellenfunktionen
im Zeitbereich

Interferenznetze (IN) verbieten die verzögerungsfreie Ausbreitung von Information. IN können nur funktionieren, wenn jede Ausbreitung und Verarbeitung von Information Zeit benötigt. Dem Laien mag dies absurd erscheinen, aber der Kenner ahnt wohl, daß damit alle "schönen", einfachen oder abstrakten Ansätze von Zustandsmaschinen über Boolsche Algebra und Neural Networks zum Sonderfall mutieren. Interferenznetze lassen sich also (im Moment) noch nicht mathemathisch abstrakt, sondern eher nur als physikalisch orientierte Wellenmodelle berechnen.

Fragen wir nach der Idee hinter den Interferenznetzen, dann ist dies die Entdeckung, daß man Information auf zweierlei Art übermitteln kann: Zum einen durch Kodierung, so wie unsere digitale Welt im Internet Milliarden Bit täglich überträgt. Zum andern aber können wir Information auch bitfrei als virtuelle Welle übertragen. Die Welle darf dabei solange im Netzwerk herumlaufen, bis sie andere Wellen trifft: erst dort hat sie ihr Ziel erreicht und wird zur Information (zum Bit).

Um das Prinzip zu verstehen, können wir ein Spiel spielen. Nennen wir es "Ringelpietz mit Anfassen". Dazu stellen wir uns in einer Gruppe im Kreis auf und fassen die Hände der Nachbarn. Durch einen kurzen Handdruck mit der rechten und der linken Hand kann ich meinem rechten oder meinem linken Nachbarn geheime Zeichen geben, von dem die anderen Spieler nichts merken.

Die Spielregeln sind einfach:

Der Getroffene darf als nächster zwei Wellen aussenden. Über die Zeitverzögerung kann er bestimmen, wen er im Kreis adressieren will.

    a) Mein Gegenüber im Kreis kann ich adressieren, indem ich beide Hände gleichzeitig drücke.
    b) Jeden andern im Kreis erreiche ich nur dadurch, daß ich erst die eine und dann kurz zeitverzögert die andere Hand drücke.

Gewonnen hat z.B., wer innerhalb der Spielzeit die wenigsten Treffer erhält.

Wir sehen, daß bei diesem Spiel die Information dort entsteht, wo sich die rechtsherum und die linksherum laufende Welle treffen. Wir sprechen dort vom Ort der Interferenz. Wir wollen die Fälle a) und b) als Selbstinterferenz einer Welle mit sich selbst bezeichnen.

Drückt der Sender beide Hände mit einer Periode, die kleiner als die Umlaufzeit der Information im Kreis ist, dann entstehen an verschiedenen Stellen im Kreis Maxima und Minima als Knoten der Überlagerung. Mehrere Teilnehmer geben jetzt Laut. Hier sprechen wir von Fremdinterferenz. Noch interessanter wird es, wenn mehrere Spieler im Kreis gleichzeitig "senden": dann dauert es nicht mehr lange, bis Kommunikation unmöglich wird - wir sprechen dann von Interferenz-Überlauf. Ein wenig Übung gehört allerdings dazu: Man probiere es aus.

Ähnlich wie dieses eindimensionale IN verhalten sich andere Interferenznetzwerke. Allen gemein ist, daß mehrere Wellen gleichzeitig (synchrotop) eintreffen müssen, um einen auslösenden Schwellwert zu überbieten. Erst die Überschreitung des Schwellwertes sorgt für Weiterverarbeitung im Netz. Je mehr Wellen gleichzeitig über einem Ort zusammenschlagen, desto höher ist die Erregungswahrscheinlichkeit genau an diesem Ort.

So können wir uns die seltenen Monsterwellen im Ozean als zufällige Interferenz mehrerer Wellen vorstellen, die aus verschiedensten Richtungen kommen. Nur am Ort der zeitgleichen Begegnung (Interferenz) vieler großer Wellen entsteht aus dem Nichts eine Monsterwelle. Befindet sich zufällig ein Schiff an genau diesem Ort, wird dieses Schiff zertrümmert. Erst am Ort der Interferenz entsteht die Wirkung oder die Information. Und damit unser Schiff zertrümmert werden kann, ist ein Schwellwert in der Wellenhöhe zu erreichen.

Wir finden solche Schwellwerte im Nerv als Erregungsschwelle oder bei der akustischen Kamera als einstellbaren Pegel.

Wird die Pulsdauer kurz im Vergleich zur Wellenlänge (lambda = vT) der Signalausbreitung, beginnen IN, Zieladressen von Informationen über Verzögerungszeiten zu definieren. Als Wettlaufschaltungen entwickeln sie eine Eigendynamik, die im Moment noch fernab jeder bekannten Systemtheorie steht. Nicht Leitbahnen bestimmen in Ihnen den Fluß von Information, sondern Relationen von Verzögerungen (Delays) und Orten. Technisch stehen damit Netzwerke zur Verfügung, die ausfallgeschützt sind. Gleich welche Komponente des Netzes ausfällt, die Funktion des Gesamtnetzes wird nicht grundsätzlich gestört. Man denke dabei an 100 Milliarden Nervenzellen des Menschen, deren jede im Durchschnitt sieben Jahre lebt. Obwohl dann im Schnitt alle 2,5 Millisekunden eine Nervenzelle ausfällt, funktioniert unser Nervensystem zehnmal so lange, wie jede der Nervenzellen. Ein Computer oder Smartphon fällt hingegen aus, sobald nur ein einziger seiner aber Millionen Transistoren ausgefallen ist.

Für IN sind nichtperiodische Signale im Zeitbereich interessant, insbesondere auch auf inhomogenen Netzen (nervlicher Art). Um Welleninterferenz verstehen zu können, werden in den Demos allerdings vorzugsweise homogene, euklidische Netze gezeigt.

Der eindimensionalen Zeitfunktion des Ortes steht ein n-dimensionales Wellenfeld gegenüber. IN sind im Zeitbereich wie im Ortsbereich angesiedelt. Wellenfeldrechnungen im Frequenzbereich bilden die Ausnahme.

Wellen können grundsätzlich nicht-periodisch oder periodisch sein. Wellen können vorwärts oder rückwärts laufen. Da bei IN die Zeit der Bewegungsparameter der Welle ist, beschäftigen wir uns folglich auch mit Zeit- und Delay- Inversion. Hier kommt einiges in Bewegung und auf den Leser zu.

Grundidee der IN ist es nicht, nach Lösungen von Wellengleichungen zu suchen, sondern Zeitfunktionen (Wellen) durch den Raum zu bewegen, um nach dem Ort des Zusammentreffens der Partialwellen zu fragen.

Dort, wo sich die meisten Wellen (zeitgleich) begegnen, entsteht die größte Wirkung (Synchrotopie).

Genau an diesem Ort besitzt das Interferenzintegral ein Maximum. Eine Schlüsselrolle spielen folglich Raum-Zeit-Proportionen der Interferenzintegrale (I²).

Vornehmliche Zielrichtung sind Nervennetze, für deren langsam fließenden Spikes die Theorie der Interferenznetzwerke entwickelt wurde. Die akustische Photo- und Kinematographie (akustische Kamera) entstand als erste Applikation eines Interferenznetzwerks.

Das Gebiet der Interferenznetze (IN) ist heute erst zwei Jahrzehnte alt. Einiges muß in der Abstraktion von Optik, Akustik, Nervennetz, zellularem Automaten, ANN, Faltungscode, GPS oder Radar im Zeitbereich neu gedacht werden. Bildungen neuer Begriffe sind unvermeidlich (Interferenzintegral, Raumfunktion, Synchrotopie, Selbstinterferenz, Fremdinterferenz), benötigen aber noch Reifezeit. Andere Begriffe stehen in Wandlung. So sind die Begriffe "Welle" oder "Interferenz" in der klassischen Physik von Periodizität vereinnahmt, in Interferenzsystemen hingegen ist Zeitbezug das Maß der Dinge. Periodizität wird hier eher als Sonderfall wahrgenommen.

Diese Seite zeigt einige Animationen und Filme auf homogenen (1-dim., 2-dim. Netzen/Räumen) zum Verständnis elementarer Begriffe der Wellenwelt. Sie dient als Illustration zu Veröffentlichungen im Puplikationsverzeichnis. Dort findet man Einführungen z.B. unter folgenden Links:

  • (PDF) 2010 Introduction
  • (PDF) 1998 Signalrekonstruktion
  • (PDF) 1996 Virtual Experiments

Demos zu Wellen und Welleninterferenz

Das Wesen interferenzieller oder mathematischer oder abstrakter Wellen als abstrakte, zeitliche Verschiebungen erkennt man sicher am besten an einem Beispiel. Unter jedem Filmchen (*.gif) liegt jeweils der Scilab-Code (*.sce), mit dem der Film generiert wurde.

  • (HTML) eindimensionale Wellen
  • (HTML) zweidimensionale Wellen
  • (PPT) Nervliche Interferenz-Animationen

Beziehungen zwischen Faltungs- und Interferenzintegral

Faltungsoperationen dienen der Signalfilterung. (Mit dem Begriff der Faltung ist eigentlich meist die Faltungssumme oder das Faltungsintegral gemeint). Man denke an FIR- oder IIR-Filter zur Realisierung von Hoch- oder Tiefpaßfiltern, siehe verlinkte Scilab-Beispiele.

Hier soll das Wesen des Faltungsintegrals als Verbindung zwischen Hören und Sehen, zwischen Zeit und Ort aus der Sicht der Interferenznetze mit einer Javascript-Animation analysiert werden. Man kann interaktiv eigene Zeitfunktionen eingeben.

Nun ist die mathematische Faltung für lediglich zwei Zeitfunktionen definiert. Sie stellt in Interferenznetzen keine Elementaroperation dar. Der Versuch der Erweiterung des Faltungsbegriffes auf die Interferenz von mehr als zwei Zeitfunktionen (Name 'Interferenzfaltung' in NI93) kam bei Experten nicht gut an, er war Mathematikern suspekt. Die Mathematik der Faltung baut auf Verzögerungseinheiten [T] oder [z-1] vom Typ 'integer' auf, im Nervennetzen gibt es diese Einheit nicht, Verzögerungen haben eher den Datentyp 'float'. Auch werden bei der Faltung Ort und Zeit gemixt, bei Interferenz nicht. Schauen wir uns deshalb die mathematische Faltungsoperation etwas näher an, um deren Einordnung in das Theoriegebäude der Interferenznetzwerke zu überprüfen.

  • Beziehungen zwischen Faltungs- und Interferenzintegral - interaktiv (HTML + Javascript) und als Druckversion (PDF)
  • Joy of Convolution - Filterbeispiele mit Scilab (HTML)
  • Non-Recursive Interference Calculi. Conference paper Autsys 2011 (PDF)






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